Элина Быстрицкая родилась 4 апреля 1928 года в Киеве, в семье военного врача-инфекциониста Авраама Петровича Быстрицкого и больничного повара Эсфири Исааковны Быстрицкой. В детстве жила с родителями на Украине.
Во время войны училась на курсах медсестёр, работала в госпитале. В 1944 году поступила в медицинский техникум, который закончила в 1947 году.
В конце 1940-х начала заниматься художественной самодеятельностью. Под давлением отца в 1947 году поступила в Нежинский педагогический институт, но через год оставила его и поступила в Киевский институт театрального искусства имени И.К. Карпенко-Карого на курс Л.А. Олейника. Окончила актёрский факультет этого института в 1953 году.
Работала в В ильнюсском русском драматическом театре (1953–1956), в М осковском драматическом театре имени А.С. Пушкина (1956–1958).
С 1958-го в труппе Малого театра. Её дебютом в М алом была роль леди Уиндермиер в спектакле «Веер леди Уиндермиер» О. Уайльда (1959). Затем, в 1965 году, она сыграла в той же пьесе миссис Эрлин.
С 1950 года Быстрицкая снимается в кино. Исполняла роли Лены Алексеенко в фильме «В мирные дни» (1950), Елизаветы Максимовны («Неоконченная повесть», 1955), Аксиньи («Тихий Дон» по Шолохову, 1957–1958), Лёли («Добровольцы», 1958), Ксении Румянцевой
(«Всё остаётся людям», 1963) и другие.
С 1978 года занималась педагогической деятельностью в В ысшем театральном училище им. М.С. Щепкина, преподавала на кафедре актёрского мастерства в ГИТИСе имени А.В. Луначарского.
В 1998 году работала в театре им. М.Н. Ермоловой.
С 2010 года успешно сотрудничает с Государственным академическим русским народным ансамблем «Россия» им. Л.Г. Зыкиной